Инварианты

«Инварианты»

Зуев Михаил

омска.

Елена Викторовна, учитель математики

его «инвариантными». Меня это очень заинтересовало, ведь инвариантные задачи встречаются в различных олимпиадах и, что особенно важно, в ЕГЭ. Поэтому я решил больше узнать об инвариантах и об их применении.

Гипотеза: Решение инвариантных задач, позволяет повысить компетентность учащихся в применении инвариантов.

Цель: Изучение применение инвариантов при решении задач и создание сборника задач на применение инвариантов.

Задачи:

Собрать теоретическую информацию о математическом понятия «инвариант»;

Создать серию задач, требующих использование инвариантов для решения;

Предложить задачи для решения учащимися 8-го класса;

Исследовать частоту применения инвариантов при решении задач;

Узнать, что влияет на эффективность применения инвариантов при решении задач;

Оформить задачи и их решения в сборник.

Объект: Математическое понятие «инвариант».

Предмет: Решение задач при помощи инвариантов.

Методы исследования, которые я буду применять в своей работе, это:

Моделирующий эксперимент;

Сравнение.

Введение:

— это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях. В некоторых задачах инвариант — это величина, которая изменяется монотонно, то есть только увеличивается или только уменьшается. Рассмотрим на примере задачки про шахматную доску.

Условие:

Имеется шахматная доска, из которой вырезали два противоположных угловых поля. Можно ли покрыть ее целиком фигурами домино размером 2 × 1 таким образом, чтобы каждое поле было полностью покрыто одной и только одной фигурой домино?

, а значит решений нет.

:

На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и на 4 клетки вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попав в точки, координат которых кратны 4?

, то вся ось разбивается на интервалы с длиной 4. Между этими интервалами можно перемещаться только прыжками на 4. Т.к. 1 и 2 находятся в одном интервале, то количество прыжком на 4 влево, равно кол-ву прыжков на 4 вправо.

– кол-во прыжков на 1 вправо, с – кол-во прыжков на 1 влево. Получаем, что совокупность всех прыжков можно представить в виде такого многочлена:

с=у

у-х)

число прыжков должно быть нечётным числом. А 2010 – чётное число. Значит, за 2010 прыжков нельзя попасть из 1 в 2.

:

Задачи на чётность

Задачи на делимость.

Задачи с полуинвариантами.

.

   Рассмотрим каждый тип на примере задач:

Задача на чётность:

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

чётность кол-ва платков та же, что и чётность подхода. После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача на делимость:

Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

а+2а=3а делится на 3, значит, сумма цифр 1-го и 2-го числе делится на 3. 2+3+4+5+6+7+8+9=44 не делится на 44, а значит составить такие числа нельзя.

Задача с полуинвариантами:

. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Рассмотрим различные варианты переливания:

2у+2у=4у литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.

ётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.

2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.

2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Число чётных литров увеличилось на 2, а нечётных уменьшилось на 2.

Кол-во нечётных чисел может только уменьшаться.

добиться таких чисел нельзя.

Задача с неклассифицированными инвариантами:

. Белые, как водится, ходят первыми. Могут ли чёрные выиграть и, если да, при какой тактике (оба игрока стараются выиграть)?

слон ходит по клеткам одного цвета. И, поэтому, если ладья будет ходить только на клетки другого цвета, чёрные не смогут выиграть.

Также инвариантные задачи можно разделить на группы по виду начальных данных:

В задаче требуется доказать, что существует некий инвариант, причем он явно задан в условии.

на инварианты — их надо увидеть самостоятельно.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На этой диаграмме видно, что 90% учащихся не применяли инварианты при решении задач.

В общей доле решения это выглядит вот так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для самостоятельного решения я провёл повторную проверку и получил такие результаты:

 

 

 

 

 

 

 

:

 

на частоту и успешность применения инвариантов, являются:

Анализ

Правильное восприятие условий задачи.

Опыт решения задач.

Эти навыки позволяют сделать вывод, что более сложным представляется 2 тип задач, где требуется найти инвариант.

После этого я объединил задачи и их решения в сборник, который в настоящее время насчитывает около 20 задач.

Вывод:

Решение задач на инварианты развивает не только те навыки, которые используются в-основном при решении задач на инварианты, но и те, которые могут пригодиться и в других сферах деятельности.

Добавить комментарий